三角形的周长公式(一道高中几何题-求三角形的小周长)

一道高中几何题-求三角形的小周长

在图中AB=10， BC=14， AC=16， M是BC的中点， 通过M点可以画很多线与AB交于P，与AC交于Q， 证明并求出三角形APQ的小周长。

解：我们在一道题中曾经证明过下图中的问题，证得过三角形**W的周长之和切线长有关。详见一道初中几何题，求证三角形的周长为定值

本题若果M点做个圆并且与AB和AC两条直线相切，这个圆是存在的。

若从M点做圆的切线，则形成的三角形APQ的周长为小。如图所示的**W，下面分析和证明这个结论。

我们证明三角形**W的第三个边经过M就是小周长的三角形，从上面的结论中这个周长等于AY AZ。

若从M做其它三角形，由于经过M只有一条切线，所以其它线一定与圆有另一交点，

然而这条线可以由另一个圆同时与AB和AC相切以及这条线相切，这条切线与AB和AC相交于Y’和Z’。但PMQ将初的圆切割交于两点， 为了相切，这个圆必须要向右侧移动，因此两个切点Y’, Z’也要向外侧移动，说明周长在增大（因为根据前面的引理，周长只与切线有关），因此证明了M是切点时的三角形形APQ有小周长。

接下来就是如何解三角形的问题。

我们现在确定三角形**W的周长， 注意到切线AZ的长度是可以求出的，因为三角形**W的周长=AY AZ， 但AY=AZ， 所以周长就是2AZ。

首先求角A的大小， 利用余弦定理：

接着是确定圆心和半径，这样利用解析几何确定各点的坐标是容易求得切线的长度的。

如图标出A， B， C三点坐标， 由于M是BC的中点， 可以求出M的的坐标。

利用中点公式， M点的坐标为：

即为：

设圆的半径为r, 圆心很容易求出，

则圆的方程为，

又因为切线AZ的长度为√3r, 所以三角形的小周长为：