三角形的周长公式(一道高中几何题-求三角形的最小周长)

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2022-11-27
导读:一道高中几何题-求三角形的最小周长在图中AB=10, BC=14, AC=16, M是BC的中点, 通过M点可以画很多线与AB交于P,与AC交于Q, 证明并求出三角形APQ的最小周长。解:我们在一道题中曾经证明过下图中的问题,证得过三角形AVW的周长之和切线长有关。详见

一道高中几何题-求三角形的最小周长

在图中AB=10, BC=14, AC=16, M是BC的中点, 通过M点可以画很多线与AB交于P,与AC交于Q, 证明并求出三角形APQ的最小周长。

解:我们在一道题中曾经证明过下图中的问题,证得过三角形AVW的周长之和切线长有关。详见一道初中几何题,求证三角形的周长为定值

本题若果M点做个圆并且与AB和AC两条直线相切,这个圆是存在的。

若从M点做圆的切线,则形成的三角形APQ的周长为最小。如图所示的AVW,下面分析和证明这个结论。

我们证明三角形AVW的第三个边经过M就是最小周长的三角形,从上面的结论中这个周长等于AY AZ。

若从M做其它三角形,由于经过M只有一条切线,所以其它线一定与圆有另一交点,

然而这条线可以由另一个圆同时与AB和AC相切以及这条线相切,这条切线与AB和AC相交于Y’和Z’。但PMQ将最初的圆切割交于两点, 为了相切,这个圆必须要向右侧移动,因此两个切点Y’, Z’也要向外侧移动,说明周长在增大(因为根据前面的引理,周长只与切线有关),因此证明了M是切点时的三角形形APQ有最小周长。

接下来就是如何解三角形的问题。

我们现在确定三角形AVW的周长, 注意到切线AZ的长度是可以求出的,因为三角形AVW的周长=AY AZ, 但AY=AZ, 所以周长就是2AZ。

首先求角A的大小, 利用余弦定理:

接着是确定圆心和半径,这样利用解析几何确定各点的坐标是容易求得切线的长度的。

如图标出A, B, C三点坐标, 由于M是BC的中点, 可以求出M的的坐标。

利用中点公式, M点的坐标为:

即为:

设圆的半径为r, 圆心很容易求出,

则圆的方程为,

又因为切线AZ的长度为√3r, 所以三角形的最小周长为:

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