酷炫的数学图：给力的正十七边形

你真的以为你懂三角函数吗？请听问题：既然三角函数是函数，那么它的自变量和因变量分别是什么？

从这张图很明显，所谓正弦函数，其实就是圆上任意一点的Y坐标(红色)和弧长(蓝色)的关系。左边的蓝色弧线和右边的蓝线一模一样。

弧长与弧度正好对应。为什么高中老师不肯用经典的360度角却要教你奇怪的弧度？因为这种对应关系。1弧度是长度为1半径的圆弧对应的角度，弧度正好对应半个圆。之所以sin=0，正是因为当蓝线走了一个(半圆)后，刚好回到y=0的地方。

余弦函数是圆上任意一点的x坐标和弧长的关系，只不过在画函数的时候，圆上该点的x坐标是弯曲的，对应的是函数曲线上的y坐标，就像这张图中的蓝线。

为了体现余弦函数的这种对应性，我们也可以直接把函数本身竖立起来，它就变成这样：

当然，这种对应也可以用在其他几何图形上，只是没有圆漂亮，比如下面这个难看的心形。

极坐标的魔法

怎么把直角坐标变成极坐标？看看我的：

这是什么妖术.

别急，听我解释。而是你所看到的：

首先我们需要沿着直线y=x翻转函数，这一步的原因是我们在极坐标中任意定义向右0度。如果0度是(更自然地)朝上，那么就不需要这一步。

然后，我们弯曲Y轴，直到它收缩成一个点。成功！

想法是这样的：在几何学中，一条直线可以看作是一个直径和曲率半径无限大的圆，并且永远不会自己弯曲。但如果我们逐渐减小曲率半径，从无穷大到零，就相当于把Y轴变成一个逐渐缩小的圆，后变成一个点。原来直角坐标的Y轴所携带的信息在转换过程中逐渐转移到极坐标的角度。

正十七边形尺规作图

要坚持看完哦

用直尺可以做出正七边形，1796年19岁的高斯证明了这一点。这是两千年来正多边形尺子画法的首次突破。换句话说，上一次人们发现新的正多边形尺子画法是在古希腊。

然而，高斯本人实际上并不能做出正七边形。第一个真正的正七边形尺子的画法是约翰内斯在1825年才做出的；Urchinger给出的，上面的方法卡莱尔圆法则是后面的。

那高斯怎么知道正七边形可以做出来？因为他懂数学。他已经知道，如果正多边形内角的三角函数可以用加减乘除和平方根来表示，就意味着可以用直尺做出正多边形。(尺子相当于只用圆和直线的交点来画图。直线的表达式是二元一次方程，圆的表达式是二元二次方程，所以只用加减乘除和平方根。)而他证明了只要正多边形的边数n是一个费马素数，就可以这样表示。当时人们已经知道前五个费马素数是3，5，17，257，65537，于是高斯证明了五个正多边形都可以用尺子做。

但是，正三角形(好吧，正三角形)和正五边形早就知道了，正257边三角形做起来太麻烦，所以后正十七边三角形成了有名的。

那么正七边形对应的三角函数应该怎么表示呢？高斯的《算术研究》给出了结果：